Примеры решения интегралов в контрольных и курсовых работах

Начертательная геометрия
Примеры выполнения заданий
Практика выполнения технических чертежей
Основные геометрические фигуры
Прямая и точка на плоскости
Построить сечение пирамиды
Чертежи
Замена плоскостей проекций
Виды
Аксонометрические проекции
Дизайн интерьера
Интерьеры дворцов Палладио и Виченце
Художественный театр
Эпоха классицизма в России
Интерьер детского сада в
Марсельском доме

Свет как компонента архитектурного
языка

Архитектура
Градостроительная наука
Разработка интерьера

Ландшафтно-климатические требования

Атриумные здания

Здание школы танцев Парижской оперы

Физика
Электромагнитное взаимодействие
Фотоядерные реакции
Электротехника
Математика
Курсовой расчет
Контрольная работа
Вычислить интеграл
Вычисление площадей фигур
Вычисление объема тела
Лабораторные работы
Теоретическая механика
Зубчатые механизмы
Подвижный шарнир
Сопротивление материалов
Сопротивление усталости
Лабораторная работа
Испытание на сжатие
Испытание материалов на выносливость
Проверка теории изгибающего удара
Электротехника
 

Вычислить площадь фигуры , ограниченной прямыми х=0, х=2 и кривыми у=2х , у=2х–х2 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами х = –2у2, х=1–3у2 

Найти площадь фигуры, заключенной между параболой х2=4у и локоном Аньези : .

Вычислить площадь фигуры, лежащей в первой четверти внутри круга и ограниченной параболами  и    

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями   и осью Ох.

Найти площадь сегмента, отсекаемого от кривой  хордой .

Найти площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями кривой   и прямой . Пределы и непрерывность функции Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

Вычислить площадь петли кривой .

Найти площадь между параболой , касательной к ней в точке М(2,–5) и осью ординат.

  Найти площади фигур, ограниченных окружностью  и параболой  

  Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или ).

 Вычислить интеграл

  Вычислить интеграл

  Вычислить интеграл

  Найти интеграл    

В данной секции мы  рассмотрим вычисление интегралов вида , где R - рациональная функция x и квадратного корня . Предварительно преобразуем квадратичную функцию под знаком корня, выделив в ней полный квадрат:

  Вычислить интеграл .

 Вычислить интеграл .

  Вычислить интеграл .

 Найти интеграл .

  Найти интеграл .

  Интегрирование рациональных функций

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

  1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
  2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
  3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;
  4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

  Вычислить интеграл .  .  .  .

В данном разделе мы рассмотрим 8   специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

  Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

 Найти интеграл .  .  .

  Повторные интегралы Области интегрирования I и II типа Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа.

  Найти повторный интеграл .

  Вычислить .

  Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  Криволинейные интегралы первого рода

  Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2)

  Вычислить интеграл , где C − кривая, заданная уравнением .

 Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

Найти криволинейный интеграл , где кривая C является дугой эллипса , лежащей в первом

  Криволинейные интегралы второго рода

  Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

 Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1)

  Вычислить криволинейный интеграл вдоль кривой в интервале

  Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга эллипса (рисунок 6), заданного параметрически в виде .

  Теорема Остроградского-Гаусса

Применяя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить  поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, образованного цилиндром и плоскостями z = −1, z = 1

  Используя формулу Остроградского-Гаусса, оценить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, ограниченного и плоскостью z = 1.

Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля  , где S − поверхность параллелепипеда, образованного плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0, z = 3

  Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

 Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования: 1) AB − отрезок прямой от точки A (0,0) до точки B (1,1); 2) AB − участок параболы от A (0,0) до B (1,1).

  Показать, что криволинейный интеграл , где точки A, B имеют координаты A (1,2), B (4,5), не зависит от пути интегрирования, и найти значение этого интеграла.

  Определить, является ли векторное поле потенциальным?

  Определить, является ли потенциальным векторное поле ?

  Физические приложения двойных интегралов

Определить  координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами и .

  Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми и имеющего плотность .

  Физические приложения криволинейных интегралов

С помощью криволинейных интегралов вычисляются

  Работа поля

  Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки A(1,1) до B(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью .

 Определить массу проволоки, имеющей форму дуги окружности от точки A(1,0) до B(0,1) с плотностью

 Найти центр масс проволоки, имеющей форму кардиоиды

 Вычислить момент инерции Ix проволоки в форме окружности x2 + y2 = a2 с плотностью ρ = 1.

Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v0.   Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

Вычислить   индукцию магнитного поля в вакууме на расстоянии r от оси бесконечно длинного проводника с током I.