Примеры решения задач контрольной работы по математике

Кривые второго порядка

Решение задания 1.

Из школьного курса алгебры известно, что график функции  есть гипербола, асимптоты которой параллельны  и  (см. Привалов, гл.5, §5, п.2). С другой стороны, график функции   гипербола, асимптоты которой есть  и . Таким образом, взяв за координатные оси асимптоты функции  , мы приведем эту функцию к более простому виду  (при этом пользуемся формулами преобразования параллельного переноса (2) ). Итак, в системе  задана линия уравнением

  .(4)

Выполним параллельный перенос системы  по формулам (2)

  ,  ,(2)

где   координаты нового начала  в системе ;  координаты произвольной точки в системе ;  координаты той же точки в системе .

Воспользовавшись формулами (2), запишем уравнение (4) в виде

 .

Умножим обе части этого уравнения на выражение  и раскроем скобки, получим

  .

Сгруппируем члены, содержащие  ,

  .(5)

Выберем точку  так, чтобы члены, содержащие  , обратились в нуль, т.е. положим  , откуда  координаты нового начала. Подставим эти значения в уравнение (5), имеем  , или

  . (6)

Уравнение (6) – уравнение равнобочной гиперболы, асимптотами которой являются новые оси координат.

Изобразим обе системы координат и построим данную линию по ее уравнению (6) в системе координат  (рис.3)

Рис. 3

Решение задания 2 (см. Привалов, гл.5, §6, п.3)

Пусть уравнение кривой второго порядка имеет вид

  .(7)

Такой вид уравнения определяет кривую, оси симметрии которой параллельны осям координат  (или, в случае нецентральной кривой, ось симметрии параллельна одной из осей). Выбрав в качестве новых осей координат оси симметрии, или осуществив параллельный перенос системы координат, уравнение (7) может быть приведено к каноническому виду.

Известно также, что 1) если , то уравнение (7) определяет кривую эллиптического типа ; 2) если , то гиперболического ; 3) если  параболического .


На главную