Примеры решения задач контрольной работы по математике

Решение задания 3.

Рассмотрим уравнение кривой второго порядка общего вида

 .(9)

Инвариантом  уравнения (9) называют алгебраическое выражение , составленное из коэффициентов при старших членах уравнения (9)  , которое не изменяется при любом преобразовании координат.

С помощью инварианта  определяют принадлежность кривой к определенному типу : 1) если  , то уравнение определяет кривую эллиптического типа ; 2) если  , то гиперболического типа ; 3) если  , то параболического типа.

Так как в уравнении (9) , то оси симметрии кривой не параллельны осям координат . Повернем оси координат так, чтобы они стали параллельны осям симметрии кривой, для этого воспользуемся формулами поворота осей координат (3) : ,  . Подставим выражения для  в уравнение (9), имеем

  .

Раскроем скобки и приведем подобные члены, в новых координатах   получаем уравнение

 ,(10)

где   , 

,

  ,

 ,  .

Выберем угол  так, чтобы в новой системе координат оси симметрии были параллельны осям координат , т.е. положим , или

  .

Так как , поэтому   . После поворота осей координат на этот угол в уравнении (10) исчезнет произведение переменных  .

В задании 3 дано уравнение

  . 

Так как , , то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Приведем его к каноническому виду. Для этого вначале выполним поворот системы координат  на угол , для которого  ; по формулам тригонометрии

  ,  ,  находим

  ,  ,  и записываем по формулам поворота осей координат (3)

  ,

 .

Подставим выражения  и  в данное уравнение, получим

.

Раскроем скобки, приведем подобные члены, получим

.

Выполнив параллельный перенос системы координат, приведем это уравнение к каноническому уравнению гиперболы. Для этого сгруппируем слагаемые с одноименными переменными

  ,

выделим полные квадраты относительно  ,

  , или

, или

.

Поместим начало новой системы координат  в точку , воспользуемся формулами параллельного переноса (2)

  ,  , или, учитывая координаты нового начала ,

  ,  , окончательно получим

  .(11)

Построим все три системы координат  ,  , , учитывая, что угол поворота системы  

 ,

а точка   в системе координат  имеет координаты . В систему координат   поместим кривую (гиперболу), определяемую уравнением (11).

Рис. 6


На главную