Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Вариант решения заданий
Исходя из определения производной (не пользуясь
формулами дифференцирования), найти производную функции 
Решение:
Придаем аргументу 
произвольное приращение 
и, подставляя в данное выражение функции вместо наращенное значение 
, находим наращенное значение функции
В данном случае 
Находим приращение функции
Делим приращение функции на приращение аргумента, т. е. составим отношение
Ищем
предел этого отношения при 
. Этот предел и даст искомую производную 
от функции 
; 
Производная сложной функции
Производная сложной функции равна произведению её производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.
Найти производные следующих функций:
Решение:
а) Производная неявной функции
Найти 
для данной неявной функции 
Решение:
Дифференцируем
по обе части равенства, где 
есть функция от , получим 
.
Учитывая, что 
, получаем
б) Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическое дифференцирование полезно
применять для нахождения производной от показательно - степенной функции 
, где 
- функции от и когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции
(умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня).