Примеры решения задач контрольной работы по математике

Математическая статистика

Контрольная работа по математическойстатистике

Задача 4. Случайная величина - число лет, которые служащие проработали в торговой компании; - сколько отпусков за это время они брали в этой компании. Результаты наблюдений над случайными величинами и : приведены в следующей таблице:

X

2

3

4

5

Y

3

4

6

8

Построить уравнения прямых регрессий  по  и  по . Найти выборочный коэффициент линейной корреляции .

Решение. Из условия находим:

;

;

Воспользовавшись предложенными формулами, вычислим коэффициенты прямых регрессий   по  и  по .

И по формулам построим уравнения прямых регрессий и выборочный коэффициент линейной корреляции.

;

.

Задача 5. При обработке наблюдений из 900 торговых точек за количеством проданных шампуней и соответствующих им лечебных бальзамов был найден выборочный коэффициент линейной корреляции . По имеющимся данным построить доверительный интервал для коэффициента линейной корреляции  с доверительной вероятностью .

Решение. По таблице приложения 2 находим для  соответствующее значение . Согласно формуле доверительный интервал выглядит следующим образом:

Следовательно, при заданной доверительной вероятности истинное значение может варьировать в пределах от 0,777 до 0,823 и зависимость между случайными величинами и сильная.

Задача 6. По выборке  найден выборочный коэффициент линейной корреляции . При уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента линейной корреляции  против .

Решение. Известно, что , . Вычислим статистику :

.

Из таблицы приложения 4 находим, что при , значение критической точки распределения Стьюдента . Поскольку 4,78>1,9799, то есть , то нулевая гипотеза отвергается, величины и зависимы, поскольку .

Задача 7. При проведении социологического обследования, касающегося выявления жизненных ценностей и приоритетов у людей,.. в качестве одной из проблем выдвигалась задача установить, существует ли зависимость между материальным положением человека и его удовлетворенностью своим образом жизни, которую предполагалось оценить по пятибалльной шкале. Результаты обследования представлены в таблице:

X - среднемесячный доход (тыс. руб)

Y – удовлетворенность образом жизни в баллах

1. ниже 2

3,74

2. 2-6

4,05

3. 6-10

4,68

4. 10-15

4,52

5. выше 15

4,47

Вычислить ранговый коэффициент корреляции Спирмена, установить, зависимы ли величины.

Решение. Проранжируем величину следующим образом: самому большому доходу «выше 15» присвоим ранг 1; доходу «10-15» - ранг 2 и так далее. Аналогично проранжируем величину , присвоив значению 4,68 ранг 1; значению 4,52 – ранг 2;…; значению 3,74 – ранг 5. Исходная таблица может быть записана следующим образом:

1

2

3

4

5

 

3

2

1

4

5

Воспользовавшись формулой для вычисления рангового коэффициента корреляции Спирмена, получим

.

По величине  можно сделать вывод, что между материальным положением человека и его удовлетворенностью своим образом жизни существует довольно сильная зависимость.


Вариант 1.

1. В ходе этнографической экспедиции по двум этнокультурным группам (районам) Архангельской области были выявлены наиболее часто встречающиеся узоры русской вышивки: конь и крылатая птица. На основе частоты появления этих образов орнамента в обследуемых этнокультурных группах была составлена следующая таблица: 

Район

конь

крылатая птица

Онежский

7

40

Плисецкий

11

17

По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи между признаками; 2) при уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков: вид орнамента и принадлежность его к определенной группе.

2. В ходе медицинского обследования стояла задача проверить аллергенность нового препарата. Из 100 пациентов с одним и тем же заболеванием часть принимала старый общеизвестный препарат X, а часть принимала новый препарат Y. Из принимавших старый препарат: у 48 человек была нормальная реакция, а у 4 человек обнаружена аллергия. Среди тех, кто принимал новый препарат: у 42 зафиксирована нормальная реакция,. А у 6 человек аллергия. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей возникновения аллергии при применении препаратов X и Y, когда уровень значимости равен 0,02. останется ли принятое решение о проверке данных гипотез справедливым, если при тех же значения частостей число пациентов возрастет в 10 раз?

3. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты. Для проверки годности автомата произведено 400 испытаний, где выигрыш появился 5 раз. Оценить вероятность появления выигрыша. Построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при , используя: преобразование арксинуса. Как изменится доверительный интервал, если при той же частости появления выигрыша число наблюдений возрастет в 20 раз?

4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:

X

1

2

-1

3

Y

2

3

1

4

 Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида  найти неизвестные коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при .


На главную