Примеры решения задач контрольной работы по математике

Операционное исчисление

Контрольная работа по операционному исчислению

Список литературы.

Араманович И.Г., Лунц Г.А., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.-М.,1965, ч.2,гл.7 - 287 с.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. Т.2.- 2002.- 544 с.

Решение типового варианта.

Контрольная работа 

Вариант 0.

Задача 1. Является ли оригиналом функция?

Решение: Данная функция не является оригиналом, так как неравенство не может выполняться ни при каких s для всех t>0, так как . , что для любого s выполнено неравенство , начиная с некоторого значения t.

Задача 2. Найти изображения оригинала:

Решение: По таблице изображений найдем:

.

Задача 3. Найти оригиналы, соответствующие изображению:

Решение: Преобразуем  таким образом, чтобы можно было воспользоваться таблицей изображений:

; прежде чем преобразовывать второе слагаемое выделим полный квадрат в знаменателе для того, чтобы воспользоваться свойством линейности преобразования Лапласа:

при построении оригинала, соответствующего третьему слагаемому сначала найдем оригинал для функции , а затем применим теорему запаздывания для оригинала:

Задача 4. Не вычисляя интегралы, найти изображение

Решение: Воспользуемся теоремой об интегрировании оригинала: . И, значит,

Задача 5. Вычислить интеграл

Решение: Интеграл  представляет собой свертку функций  и . Ее изображением согласно теореме о свертке будет функция . Мы привели дробь, представляющую изображения в виде алгебраической суммы дробей таким образом, чтобы для каждой части существовал оригинал в таблице. Тогда убедимся, что оригиналом этого изображения служит следующая функция . И, значит, =.

Задача 6. Найти решение задачи Коши

Решение: Пусть функция  имеет изображение . Тогда по теореме о дифференцировании оригинала получим . Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. Выпишем получившееся операторное уравнение. Откуда получим. Таким образом .

Задача 7. Решить систему уравнений

Решение: Пусть  и .Учтя, что , получим операторную систему линейных уравнений

Решая систему, получим =. Воспользовавшись таблицей изображений, найдем  и .


На главную