Примеры решения задач контрольной работы по математике

Пример 4. Вычислить поток векторного поля  через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра , ограниченного плоскостями   .

Решение:

Вычислим поток векторного поля по формуле:

, где  ‑ нормальный единичный вектор к поверхности . Найдем вектор . Запишем уравнение поверхности  в неявном виде: .

Тогда . Т.к.   (по условию задачи), то  образует острый угол с осью :

Следовательно, .

Поток векторного поля . Спроектируем поверхность :  на плоскость , получим область , ограниченную линиями: .

=

Таким образом,

(применяя подстановку , получаем) = .

Пример 5. Вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону части поверхности , расположенной над плоскостью .

Решение:

Замкнем данную поверхность куском плоскости , который ограничен окружностью . Тогда можем применить формулу Гаусса-Остроградского.

Пусть ‑ объем полученного тела, ограниченного замкнутой кусочно-гладкой поверхностью , состоящей из части  параболоида вращения  и части  плоскости .

Поток данного векторного поля через поверхность  по теореме Гаусса-Остроградского равен:

, где .

.

Следовательно, поток

.

В силу аддитивности потока будем иметь

Отсюда искомый поток

Найдем . Так как на плоскости , имеем

,  и тогда

Таким образом, поток  через круг  будет равен площади круга : .

Искомый поток .


На главную