Примеры решения задач контрольной работы по математике

Пример 9. Доказать, что векторное поле  является потенциальным. Найти его потенциал.

Решение:

Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является равенство нулю вихря поля. В нашем случае

.

Таким образом, поле является потенциальным.

Обозначим   - искомый потенциал. По определению потенциального поля, поле градиента искомой функции  должно совпадать с векторным полем . Поэтому

. Отсюда , где  - некоторая функция аргументов  и . Из условия , можно сделать вывод, что . Таким образом, . Неопределенную функцию  найдем из условия . Решением последнего уравнения является функция .

В итоге потенциал имеет вид .

Пример 10. Пусть  - произвольные векторные поля. Показать, что  (символом  обозначено скалярное произведение векторов).

Решение:

Пусть  и   - произвольные векторные поля. Найдем векторное произведение .

.


Вариант 1.

Задание 1. Найти производную скалярного поля  в точке  по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси :

,

.

Задание 2. Найти градиент скалярного поля  и построить поверхности уровня для заданных значений :

,  где  ‑ радиус-вектор точки поля, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток векторного поля  через

полную поверхность цилиндра ;

основание этого цилиндра, лежащее в плоскости  в положительном направлении оси .

Задание 5. Найти поток векторного поля  через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Вычислить поток векторного поля  через внешнюю сторону однополостного гиперболоида , ограниченного плоскостями .

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии  от точки  до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля  вдоль контура  в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля  по контуру  непосредственно и по формуле Стокса.

Задание 10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Найти , где ,  - радиус-вектор точки поля,  ‑ постоянный вектор.


На главную