Элементы теории функций комплексного переменного
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции 
и вычислить производную. Выделить
действительную и мнимую часть полученной производной.
Решение.
Выделим
действительную и мнимую часть функции 
:
Таким образом, получим:
Найдем
частные производные 
и выясним, в окрестности каких точек они существуют и
непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:
.
,
,
т.е.
для любых действитедбных х и
у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости 
.
,
,
т.е.
для любых действитедьных х и
у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .
Так
как условия Коши-Римана выполняются для любой пары действительных чисел 
и частные производные существуют
и непрерывны в окрестности любой точки , то производная 
существует в любой точке 
комплексной плоскости С.
Найдем эту производную:
Итак,
.
Действительная часть производной:
,
мнимая часть производной:
.
Задание
4. Определить вид кривой 
.
Решение.
.
Откуда
Выразим 
из каждого уравнения: 
Исключим
из уравнений:
.
,
,
,
,
- уравнение гиперболы.