ПРИМЕР 1. Подвести под дифференциал 
.
РЕШЕНИЕ. Последовательно проведем
следующие преобразования: 
. Воспользуемся формулой 
при 
и получим окончательно 
. Но тогда 
.
Таким образом, операция подведения функции 
под
дифференциал позволила вычислить интеграл.
ПРИМЕР
2. Вычислить 
.
РЕШЕНИЕ. Умножим и поделим подынтегральное выражение
на число 3 и запишем 
.
Применив
формулу 4 таблицы интегралов при 
, получим 
.
ПРИМЕР 3. Проверить формулу 8 в таблице интегралов
непосредственным вычислением интеграла.
РЕШЕНИЕ. Так как 
, то, подведя под знак дифференциал 
, придем к формуле 2 таблицы интегралов:
.
Рекомендуется аналогично
проверить формулу 9.
В тех случаях, когда выбор функции , подлежащей подведению под дифференциал, не является
очевидным, следует осуществить поиск такой формулы, у которой подынтегральное
выражение по структуре сходно с подынтегральным выражением вычисляемого интеграла;
при этом должна быть обнаруженной и упомянутая
функция .
ПРИМЕР
4. Вычислить 
.
РЕШЕНИЕ. Связь между функциями 
и 
может быть выражена в виде равенства 
. Поэтому интеграл 
имеет смысл представить в виде 
и попытаться применить формулу 1 таблицы, понимая под функцией 
основание степени 
. "Сконструируем" дифференциал этого основания
степени 
в подынтегральном выражении,
умножая и деля одновременно его на число 
. Затем применим
формулу 1. В
результате получим
.
ПРИМЕР
5. Вычислить 
.
РЕШЕНИЕ. Снова выбор табличного интеграла, к
которому попытаемся свести интеграл ,
проведем по структуре подынтегрального выражения. Оно представляет собой дробь,
знаменатель которой содержит квадратный корень разности положительного числа 
и квадрата функции – 
. Поэтому в таблице интегралов подходящей
является формула 14. Учитывая равенство 
,
получаем 
.
ПРИМЕР
6. Вычислить 
.
РЕШЕНИЕ. Подводим под дифференциал 
и используем формулу 15 таблицы интегралов:
.
Заметим,
что интегралы 
и 
(без множителя 
перед квадратным корнем в знаменателе) нельзя вычислить
по формулам 14 и 15, поскольку 
.
ПРИМЕР 7. Вычислить 
.
РЕШЕНИЕ. Подынтегральная функция по структуре
– дробь;
в числителе – показательная функция 
, производная ее – та же показательная функция с точностью
до постоянного множителя; знаменатель есть сумма квадрата функции , так как 
, и положительного числа 3, которое можно представить
в виде 
. Эти соображения показывают,
что следует применить формулу 12. Так как 
, то будем иметь
.
Заметим,
что формула 2 к рассматриваемому интегралу не
применима, так как дифференциал
знаменателя 
сконструировать в числителе нельзя.
Непосредственным интегрированием с помощью табличных интегралов можно найти
не всякий интеграл, например 
.
Для вычисления этого интеграла нужны другие соображения.
Задача . Используя двойной интеграл, вычислить
статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей
форму области D, ограниченной заданными линиями: 
. Построить чертеж области интегрирования.
Вычислить работу силы 
при перемещении точки приложения силы вдоль заданной
кривой L: 
от точки B до точки C, если значения параметра t в точках
B и C заданы: 
.
Задача. Дано векторное поле
и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0. Требуется:
найти поток поля 
через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки
пересечения плоскости d с координатными
осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»;
построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат; используя формулу
Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля
через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.
