Решение задач по математике. Подготовка к выполнению курсовой работы Контрольная по математике

Диффенцируемость ФНП

Пусть  определена в .

ФНП   называется дифференцируемой в точке , если выполнены соотношения

,

где  – приращение вектора аргументов;  – полное приращение функции  в точке  соответственно ; .

ПРИМЕР 1. Показать по определению дифференцируемость функции  в произвольной точке

Решение. Обозначим , , . Для произвольного  
приращение функции имеет вид 

.

Здесь вектор , функция , причем

, где ,  – соответственно углы между вектором   и осями координат .

ФНП , заданная на области , называется дифференцируемой на множестве , если она дифференцируемая в каждой точке этого множества.


Связь понятий "существование частных производных", "непрерывность" и "дифференцируемость" в точке для ФНП иная, чем для функции одной переменной, и может быть изображена в виде
следующей схемы

ПРИМЕР 2. Для функции  вычислить  и  и сравнить эти значения, если ; ; .

Решение. Имеем ;

.

Абсолютная погрешность приближенного равенства  равна , относительная погрешность .

Рассмотренный пример демонстрирует тот факт, что для
дифференцируемой в точке  функции  справедливо приближенное равенство  с погрешностью .

Отсюда, в частности, имеем

,

т.е. этим соотношением функция  "линеаризована" в окрестности точки .

ПРИМЕР 3. Для  найти линейное
приближение в окрестности точки , .

Решение. Вычисляем ;

  в силу симметричного расположения переменных и их равных значений.

Итак,  или окончательно  
в окрестности точки .

Интегрирование дробно-рациональной функций

ПРИМЕР . Вычислить . РЕШЕНИЕ. Рационализируем интеграл заменой . Тогда ,  и . Выделим целую часть, правильную дробь разложим на сумму простейших дробей

Дифференциалы высших пррядков ФНП ПРИМЕР. Для функции . Найти ,  при произвольных  и . Решение. Вычисляем последовательно частные производные  и , а затем , ; . Ниже рассмотрены некоторые часто встречающиеся интегралы и применяемые для их вычисления подстановки Тригонометрические подстановки , ,  применяются в тех случаях, когда подынтегральное
выражение содержит радикалы , ,  или их степени.

Функции нескольких переменных ПРИМЕР . Выразить объем  цилиндра, радиус которого , высота , через эти переменные. Указать область определения функции. Ответ. , область определения – часть плоскости :

Диффенцирование неявно заданной функции

Интегрирование функций нескольких переменных С размерностью фигуры связано интуитивно понимаемое понятие мера фигуры (сокр. ). Теория меры множества включает понятия: "спрямляемость" дуги", "квадрируемость" области,
"кубируемость" тела, устанавливая, в частности, необходимые и достаточные условия их существования.

Некоторые свойства интеграла ФНП Геометрические свойства интеграла ФНП

Некоторые механические примложения интеграла ФН Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)


На главную